导读：
数学期望是概率论中的核心概念，但直接计算有时会面临复杂的级数或繁琐的分布问题。本文通过两个经典案例——几何分布的期望和连续掷骰子的等待问题，展示了如何利用条件期望这一强大工具，化繁为简。

• 几何分布：通过首枪“命中与否”的分步思考，将无穷级数转化为简洁方程，轻松求得期望。

• 骰子问题：以“第一次是否掷出1点”为突破口，结合全期望公式，巧妙避开复杂计数，最终得到意想不到的答案（42次！）。

文中既有严谨推导，又有直观解释，适合概率爱好者与竞赛学习者。读完你会发现：条件期望不仅是技巧，更是一种思维的艺术！